martes, 19 de mayo de 2009

Pitágoras en la antiguedad.

EL Teorema de Pitágoras fue desarrollado por varias de las civilizaciones orientales prehelénicas –Babilonia, Egipto, India y China– para entrar después en el mundo griego a través de Pitágoras y cruzarlo con Platón y Euclides. Las diversas demostraciones nos demuestran el gran desarrollo matemático de esa época, y lo que es más importante es ver la riqueza de ideas y que la matemática no es tan estructurada como se supone, que hay creatividad e imaginación.

Demostración del Teorema por los Babilóncos:
La Arqueología ha recuperado cerca de medio millón de tablillas de arcilla con textos cuneiformes, de las cuales casi trescientas tienen contenido matemático. Entre ellas sobresalen la tablilla YALE o YBC 7289, conservada en la Universidad de Yale en la Universidad de Columbia.
En la tablilla YALE figura un cuadrado con los triángulos rectángulos resultantes de trazar las
diagonales y varios números en caracteres cuneiformes escritos en el sistema de numeración sexagesimal babilónico, basado en las potencias de 60. La relación con el Teorema de Pitágoras se observa al traducir estos números a nuestro sistema decimal.

En la parte superior de la tablilla YALE aparece el número 30; mientras que en la parte inferior
aparece 42;25,35, que pasados a decimales resultan ser los números 30 y 42,426389,
respectivamente. Dado que la diagonal de un cuadrado se obtiene –aplicando el Teorema de
Pitágoras– multiplicando el lado por √2, y se comprueba que: 42; 25, 35 30 · (1; 24, 51, 10), es decir: 42,426389 30 · 1,41421, las relaciones aritméticas entre los números que aparecen en la tablilla YALE resultan ser un caso particular de una implícita aplicación primitiva y empírica del Teorema de Pitágoras.

El Teorema de Pitágoras en Egipto:
Ni el papiro de Rhind ni en el de Moscú, a pesar de su alto valor matemático, mencionan el Teorema de Pitágoras ni las ternas pitagóricas. Pero a pesar de ésto, los egipcios conocían y utilizaban el hecho de que el triángulo de lados 3, 4 y 5 (o proporcionales a estos números), llamado "Triángulo egipcio", es rectángulo, para trazar una línea perpendicular a otra, a modo de "escuadra de carpintero", que era una práctica habitual de los agrimensores oficiales para recuperar las fronteras de los lindes de las tierras tras los periódicos corrimientos de tierras producidos por las crecidas del río Nilo.
En el antiguo Egipto el Triángulo egipcio, era llamado
también Triángulo de Isis y tenía un cierto carácter sagrado, porque el número tres representaba a Osiris, el cuatro a Isis y el cinco a Horus. Así lo relata Plutarco en Sobre Isis y Osiris, VIII,4: "Los egipcios se imaginaban el mundo la forma del mas bello de los triángulos. Este triángulo, símbolo de la fecundidad, tiene su lado vertical compuesto de tres, la base de cuatro y la hipotenusa de cinco partes. El lado vertical simbolizaba al macho, la base a la hembra, y la hipotenusa a la primogenitura de los dos".

Todas las pirámides de Egipto, excepto la de Keops, incorporan, de alguna manera, este triángulo rectángulo en su construcción, el cual añade a su sencillez –que permite una comprobación visual instantánea del Teorema– el hecho de ser el único cuyos lados son enteros consecutivos,
teniendo los obtenidos por proporcionalidad los lados en progresión aritmética.

El Teorema de Pitágoras en India:

Como resultado de la planificación de templos y de la construcción de altares, entre los siglos
octavo y segundo a.C., en la India se desarrollan conocimientos aritmético-geométricos, prácticos y primitivos, relacionados con el Teorema de Pitágoras. Los indúes utilizaban cuerda no sólo para medir, sino también para el trazado de líneas perpendiculares, por medio de ternas de cuerdas cuyas longitudes constituyen ternas pitagóricas tales como 3,4,5; 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25.
Las ternas pitagóricas de los hindúes son clasificadas en la forma siguiente:


Los Sulvasutras hindúes eran una especie de manuales donde se detallaban prescripciones
para la construcción ritual de altares de forma y tamaño determinados. Podemos ver cómo utilizaban las ternas pitágoricas para dichas construcciones.
Las desmostraciones de Pitágoras:

Ha habido muchas conjeturas en torno a la naturaleza de las presuntas pruebas de Pitágoras
del Teorema asociado con su nombre. La tradición establece que Pitágoras habría dado una
prueba empírica del tipo disección con base en las figuras siguientes:


Los pitagóricos buscaron ávidamente el camino para obtener ternas de números a,b,c, cumpliendo a2 + b2 = c2, encontrando una ley de formación que se puede expresar en la forma:
en las "Ternas pitagóricas de Pitágoras" la hipotenusa y el cateto mayor se diferencian en
una unidad. Además, para m = 3 resulta el "Triángulo egipcio", mientras que para m = 5
resulta el origen del "Triángulo indio".

El teorema de Pitágoras demostrado por Leonardo Da Vinci:

Leonardo da Vinci muestra también su ingenio con una prueba del Teorema de Pitágoras del
tipo de congruencia por sustracción. El esquema habitual de los cuadrados sobre los lados
del triángulo rectángulo dado ABC es completado con los triángulos MBG y ENF equivalentes al dado. La recta LH común a las diagonales de los cuadrados sobre los catetos determina dos cuadriláteros LMGH, LACH, iguales. Asimismo la recta NB determina dos cuadriláteros
BAEN, BCFN, iguales, y a su vez iguales a los resultantes de la división anterior, de donde resulta el Teorema al sustraer a cada uno de los pares de cuadriláteros dos triángulos rectángulos equivalentes al dado.

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