De Pitágoras al Teorema de Fermat

La nota al margen que dejó Pierre de Fermat en su libro Aritmética de Diofanto de Alejandría fue

ha sido un completo dolor de cabeza para muchos desde 1637.

Es imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla. Fermat se refiere a esto: zn = xn + yn ¡No se les hace familiar?… si n=2, entonces la expresión se convierte en el famoso Teorema de Pitágoras sobre los triángulos rectángulos:

"El cuadrado de la hipotenusa en un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos."

Fermat sostiene que para toda potencia entera mayor a 2 (n>2) no hay ninguna suma posible de dos números elevados a la misma potencia que puedan cumplir la fórmula, salvo las soluciones triviales para x e y igual a cero.
Si utilizamos el criterio de la Teoría del Ultimo Dígito:

No existe un número z que elevado a la n potencia sea igual a la unidad (último dígito de 91).
Muchos matemáticos intentaron una y otra vez encontrar sin éxito esa maravillosa demostración que menciona Fermat en la nota del margen.
En 1995 el matemático inglés Andrew John Wiles publicó finalmente la demostración matemática que respaldaba la afirmación de Fermat basando su análisis en trabajos de Frey, Serre y Ribet que a su vez estaban basados en la Teoría de Galois y las conjeturas de Taniyama-Shimura, algo de la Teoría de Iwasawa y por supuesto el argumento del sistema de Euler. Lo explicó en un paper de 98 páginas bajo el título Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem, se aseguró un lugar en la historia universal.

Nuestros protagonistas en la TV

Existen diversos ejemplos en libros, películas y series la utilización de estos teoremas como parte del guión. Me gustaría mostrar tres ejemplos bien variados:

1. Pitágoras y el Mago de Oz: Hacia el final de la película los protagonistas (El Espantapájaros, el Hombre de Hojalata, el León Cobarde y Dorothy) encuentran por fin al Mago de Oz para pedirle lo que más desean.
   El Espantapájaros quiere un cerebro ya que todos se ríen de él por su simpleza. Esta es la
   secuencia:
   Mago: "Es una ventaja muy vulgar. Toda pusilánime criatura que se arrastra por la tierra o escurre por los mares tiene cerebro. En mi tierra natal existen universidades, hogares del saber donde los hombres van a convertirse en eruditos. Al salir de allí piensan en cosas grandes, profundas, y su cerebro se iguala al tuyo, pero..., ellos tienen algo de lo que tú careces: Un diploma. (Rebusca entonces en un cajón y saca un diploma. A continuación declama en tono solemne). Así pues, en virtud de la autoridad que me ha conferido la Universitatus Comiteatus et Pluribus Unum, con este diploma te otorgo el título de doctor Honoris Causa".
   Espantapájaros: "¿Doctor en qué?"
   Mago (saliendo del paso): "Quiere decir en eruditología".
   Espantapájaros (llevándose la mano a la cabeza, ver imagen): "La suma de la raíz cuadrada de cada uno de los lados de un triángulo isósceles es igual a la raíz cuadrada del otro lado. ¡Oh, Victoria!¡Al fin!¡Tengo cerebro! ¿Podré agradecérselo como se merece?"
   Mago: "No podrás nunca" (desentendiéndose de él).
   La primera cuestión que nos viene a la cabeza después de escuchar el resultado que enuncia el espantapájaros es si será cierto que en un triángulo isósceles se verifica la citada igualdad, similar en cuanto a su forma al conocido teorema de Pitágoras. Precisamente este resultado nos basta para comprobar que desde luego no todos los triángulos isósceles la verifican, ya que tomando por ejemplo el caso del dibujo, se debería tener que 1 + 1 fuera igual a √2 4 , lo cual es evidentemente falso. Cabe entonces preguntarse si existirá algún triángulo isósceles que lo cumpla. Entonces, ¿por qué este enunciado? El espectador medio, más o menos lógico, concluiría que dado el contexto (película de fantasía basada en un cuento para niños) el guionista simplemente ha tratado de, parafraseando el conocido teorema de Pitágoras, mostrar que el cerebro del espantapájaros sigue siendo una ilusión (atentos a la sarcástica puntilla del mago de Oz: "ellos tienen algo de lo que tú careces: Un diploma"). Los fanáticos de esta película de culto no se sienten a gusto con esta interpretación argumentando que se podría haber elegido un enunciado, basado incluso en el mismo teorema, pero en el que fuera evidente a simple vista el disparate. Incluso conocidas las tensiones y dificultades del rodaje de la película, hay quien argumenta que el actor que encarna al espantapájaros, para mostrar su disgusto, cambia por su cuenta el enunciado del verdadero teorema de Pitágoras que sería el que iría en el guión original; en este caso, serían sorprendentes sus conocimientos matemáticos respecto al americano medio de la época. La explicación más convincente para todos es que en Oz las cosas no son como en la Tierra (incluso hay color, recuérdese el resto de la película). ¿Por qué el teorema de Pitágoras iba a ser una excepción? Esto nos permite a los profesores de matemáticas dar una nueva vuelta de tuerca y preguntarnos ¿habrá una Geometría en la que el resultado sea cierto? ¿Qué tipo de Geometría rige la existencia de Oz?


2. Pitágoras y Homero Simpsons: En la 5ta temporada de Los Simpsons, "Springfield próspero" , aparece Homero Simpson entrando en un cuarto de baño, canturreando. De repente se fija en algo que flota en un iretrete:
   Homero: "¡Eh! Esto es algo que no se ve en un retrete todos los días". (Son las gafas de HenryKissinger). "¿Alguien ha perdido unas gafas?" (En el lugar no parece que haya nadie). "Uno, dos y tres. ¡Yuju!"(Las agarra, se acerca a un espejo y se las pone. Se lleva entonces la mano a la cabeza de modo similar a lo que hizo el espantapájaros en la anterior escena. Como es sabido en esta serie se hacen habitualmente homenajes a películas conocidas; y dice "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos en un triángulo isósceles (en la versión original el enunciado es como en El mago de Oz, como vimos anteriormente). Alguien dentro de un retrete: "En un triángulo rectángulo!"


3. Fermat en "Al diablo con el diablo": Se presenta una nueva profesora en un aula (en realidad es el Diablo). Elimina todos los deberes que los alumnos tenían asignados en una pizarra. "Álgebra. X a la n más Y a la n es igual a Z a la n. (Se gira hacia los alumnos) Esto no sirve para nada, ¿verdad?". Y lo borra ante el regocijo de los estudiantes. En la escena presentadas aparece la generalización del teorema de Pitágoras para cualquier exponente natural, conocido como "último teorema de Fermat". Aparece maliciosamente en el pizarrón de las tareas de unos alumnos de Secundaria, actividades ante las que el diablo, argumenta su inutilidad. En realidad el único para el que no da ningún argumento en contra es para este resultado; simplemente afirma que "no sirve para nada, ¿verdad?", coletilla esta última que viene a sustituir a "como es de todos sabido". Pero, ¿es cierto que demostrar esta conjetura no ha servido para nada ? nuevamente a que nuestros alumnos investiguen. Quizá ésto nos hace investigar para qué fue beneficiosa esa desmostración. A simple vista, que la matemática no es una ciencia finalizada.


4. Fermat y nuevamente Homero: En otro capítulo de Los Simpson (varios de los guionistas de la serie han sido matemáticos y físicos, por lo que hay muchas referencias a estas disciplinas a lo largo de la serie) en el que Homero pasa de ser un dibujo plano para adentrarse en la tercera dimensión. Es ahí donde puede verse que: Si lo que plantea Homero es real, entonces contradice al Teorema de Fermat. Te propongo que agarres una calculadora y hagas la prueba. Te animás?..... Qué pasó? Homero encontró un contraejemplo y Willes se equivocó? La explicación está en que la calculadora no puede mostrarnos más de ocho o nueve dígitos; si las cantidades los exceden, utilizan el modo científico que nuevamente sólo muestra ese número de cifras. Y las expresiones de ambos términos empiezan a diferir en el décimo dígito. Con DERIVE nuevamente, en modo exacto, vemos que dichos números son:
mientras que:

Lo que pasa es que Homero cree fielmente en su calculadora, quizás los que nos queda como enseñanza que la Matemática nos permite reflexionar sobre los resultados obtenidos.